PROBABILIDAD

    
                      1. Conceptos de probabilidad.

Es el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra o no en un momento y tiempo determinado. Dichos eventos pueden ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el evento que no pueda ocurrir tiene una probabilidad de 0  y un evento que ocurra con certeza es de 1 

La probabilidad de que ocurra un evento, siendo ésta una medida de la posibilidad de que un suceso ocurra favorablemente, se determina principalmente de dos formas:

i) Probabilidad empírica.- Si E es un evento que puede ocurrir cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del evento E, que a veces se le denomina definición de frecuencia relativa de la probabilidad, está dada por la siguiente fórmula:

ii) Probabilidad teórica.- Si todos los resultados en un espacio muestral S finito son igualmente probables, y E es un evento en ese espacio muestral, entonces la probabilidad teórica del evento E está dada por la siguiente fórmula, que a veces se le denomina la definición clásica de la probabilidad.

G) POSIBILIDADES.- Las posibilidades comparan el número de resultados favorables con el número de resultados desfavorables. 

GEOMETRÍA: LA ESFERA Y EL GLOBO TERRAQUEO

 5. La esfera y el globo terráqueo 

5.1 Elementos principales de la esfera.

Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.
Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

                       
                                    

5.2 Elementos de la esfera terrestre.
                        
                              

5.3 Los husos horarios, la hora local solar y oficial.

En geografía, huso horario es cada una de las veinticuatro áreas en que se divide la Tierra, siguiendo la misma definición de tiempo cronométrico. Se llaman así porque tienen forma de huso de hilar, y están centrados en meridianos de una longitud que es un múltiplo de 15°. Anteriormente, se usaba el tiempo solar aparente, con lo que la diferencia de hora entre una ciudad y otra era de unos pocos minutos en el caso de que las ciudades comparadas no se encontraran sobre un mismo meridiano. El empleo de los husos horarios corrigió el problema parcialmente, al sincronizar los relojes de una región al mismo tiempo solar medio.
Todos los husos horarios se definen en relación con el denominado tiempo universal coordinado (UTC), huso horario centrado sobre el meridiano de Greenwich que recibe ese nombre por pasar por el observatorio de Greenwich (Londres).
Puesto que la Tierra gira de oeste a este, al pasar de un huso horario a otro en dirección este hay que sumar una hora. Por el contrario, al pasar de este a oeste hay que restar una hora. El meridiano de 180°, conocido como línea internacional de cambio de fecha, marca el cambio de día.
 

5.4 El método de Eratóstenes para calcular el diámetro de la circunferencia terrestre

GEOMETRÍA: RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE FIGURAS CONOCIDAS

4. Resumen de áreas y volúmenes de figuras     conocidas.

                     

GEOMETRÍA: MOVIMIENTOS EN EL PLANO

3. MOVIMIENTOS EN EL PLANO

3.1 Las translaciones. ¿Qué es un vector?

Las traslaciones son movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector.

Un vector es un segmento de línea que con dirección y sentido que representa una magnitud física, y forma parte fundamental de la geometría.- Su representación gráfica consiste en una flecha, cuya punta va dirigida en dirección a la magnitud del estudio.- El vector tiene gran importancia, ya que se utiliza para el estudio de funciones y la resolución de problemas en las que se busca la representación numérica y gráfica de una función.

3.2 Ejercicios de vectores y translación

                 (ESTABA EN SEVILLA)

3.2.1 Dados los vectores u=(4,3) y v=(-1,4), hallar: 

   

   a) su representación gráfica en un sistema de coordenadas 
   b) los vectores u + v y u - v por la regla del paralelogramo 

   c) las componentes de los vectores anteriores 

   d) el módulo de cada uno de los vectores

3.2.2 Dibuja las figuras trasladadas de las siguientes en una traslación de vector guía u(4,3):

3.3 Giros

 3.3.1 Escribe la inicial de tu nombre y haz varios giros con ella. 

3.4 Simetría.

3.4.1 Dado el triángulo de vértices A(-2,2), B(6,-1) y C(7,5) se pide: 

   a) dibujar el triángulo 

   b) hallar el triángulo simétrico respecto del centro de simetría O(0,0) 

   c) hallar el triángulo simétrico respecto del eje OX

3.4.2 Euclides (aproximadamente 300 a. C.) enunció las leyes de reflexión de la luz sobre un espejo plano. Herón de Alejandría, 400 años después, afirmó algo más sencillo: "La luz ha de tomar siempre el camino más corto". Sirviéndote de esta idea, halla en que punto del espejo se ha de reflejar un rayo de luz que parte del punto A para que después llegue a B. A B M Espejo 

3.4.4 Inventa un abecedario simétrico y escribe una frase. 

3.5 Frisos, mosaicos y cenefas 

Un friso sirve en arquitectura para denominar a la parte ancha de la sección central de un entablamento.
Un mosaico es una obra pictórica elaborada con pequeñas piezas de piedra, cerámica, vidrio u otros materiales similares de diversas formas y colores, llamadas teselas, unidas mediante yeso u otro aglomerante para formar composiciones decorativas geométricas o figurativas.
Una cenefa es un dibujo que sirve de adorno y que se pone a lo largo de los muros o de los pavimentos, incluso a veces en los techos. El dibujo suele ser repetitivo.

3.6 MC. Escher

MC. Escher, fue un artista holandés conocido por sus grabados xilográficos y litográficos que tratan sobre figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios. Su obra experimenta con diversos métodos de representar (en dibujos de 2 o 3 dimensiones) espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación.

                                  

GEOMETRÍA: LUGARES GEOMÉTRICOS

                                               

                           

2. LUGARES GEOMÉTRICOS
   
2.1. ¿Qué es un lugar geométrico? 

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o propiedades geométricas.

2.2. La mediatriz y la bisectriz 
MEDIATRIZ: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento

BISECTRIZ: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las semirrectas que forman el ángulo.

 

2.3. Las cónicas


2.3.1 ¿Qué es una cónica?

Que tiene forma de cono o algo relacionado con este cuerpo geométrico.

2.3.2 La circunferencia

La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro.


2.3.3 La elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (F1 Y F2) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante. También podemos definir la elipse como una cónica, consecuencia de la intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base.

• OBTENCIÓN DE UN CONO

En una sección plana a un cono, si β, el ángulo que forman el eje del cono y el plano que corta a la superficie cónica, es mayor que el semiángulo cónico α, la curva intersección es una curva cerrada, denominada elipse.

• MÉTODO DEL JARDINERO

Procedimiento:
- Primero deben dibujarse perpendicularmente los dos ejes de coordenadas en el suelo

- Situar el eje Y en la dirección N-S, y el eje X en la dirección E-O.
- Señalar los dos focos que están en el eje X a ambos lados del centro a una distancia c , es decir, en los puntos (c,0) y (-c, 0).

- Con una cuerda que tenga de longitud l = 2a y colocando los extremos en los focos señalados, dibujar la elipse tal como se ve en la figura.

• MESA DE BILLAR ELÍPTICA

                             

2.3.4. La hipérbola

La hipérbole se obtiene al cortar de forma perpendicular a la base los dos conos.

• LA LÁMPARA HIPERBÓLICA

La luz que emite una lámpara, produce como dos conos, que al cortarse con la pared, forma una hipérbola.                              

                               

2.3.5. La parábola

La parábola se obtiene al cortar de forma paralela al lado del cono y que pase por su base.

• OBTENCIÓN EN UN CONO

                                        

• LA ANTENA PARABÓLICA

En las antenas parabólicas, la así llamada parábola refleja las ondas electromagnéticas generadas por un dispositivo radiante que se encuentra ubicado en el foco del paraboloide.

los frentes de onda inicialmente esféricos que emite ese dispositivo se convierten en frentes de onda planos al reflejarse en la parábola al reflejarse en la parábola, producen ondas más coherentes que otro tipo de antenas.

                    

                                       

• EL HORNO SOLAR

Un horno solar es una estructura que usa energía solar concentrada para producir altas temperaturas, usualmente para usos industriales. Hay varios tipos, uno de ellos son los reflectores parabólicos o helióstatos. Estos concentran la luz sobre un punto focal para calentar la comidanualmente para usos industriales.Un espejo parabólico tiene la particularidad de que todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico se reflejan pasando por el foco. Esta característica se aprovecha por ejemplo en la construcción de antenas parabólicas, hornos solares, etc. 
De la misma manera todos los rayos que pasen por el foco se reflejan en el espejo saliendo paralelos al eje. Podemos observar esta propiedad al observar los faros de un coche, en ellos la lámpara se coloca en el foco de manera que al salir los rayos de luz paralelos al eje la luz se concentra en la dirección de la carretera.Este comportamiento lo presentan sólo los espejos parabólicos, aunque también puede considerarse que se comportan así los espejos esféricos cuando corresponden a una pequeña sección de esfera.

GEOMETRIA: EL TRIÁNGULO

                              

1.EL TRIÁNGULO
         
         1.1. Propiedades y tipos de triángulos

                 1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.
                 2. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los dos interiores y mayor que                         su diferencia.
                 3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no                                       adyacentes.
                 4. Es un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
                 5. Si un triangulo tiene dos lados iguales, sus angulos opuestos tambien son                                    iguales.
                 6. La suma de sus angulos exteriores es 360º.  
                
              TIPOS:
                  
                  
        1.2. Rectas y puntos notables en el triángulo

       

• Medianas y Baricentro
  

Se llama mediana a la recta que une un vértice con la mitad del lado opuesto. En un triángulo ABC, las tres medianas se cruzan en un punto G llamado Baricentro que es el centro de gravedad del triángulo. Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área.

• Mediatrices y Circuncentro

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular en su punto medio. Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados. El punto O donde se cortan las tres mediatrices se llama Circuncentro.

La circunferencia que pasa por los tres vértices se llama Circunferencia Circunscrita.

• Alturas y Ortocentro

ALTURAS: se llama altura en un triángulo a la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. En un triángulo ABC, las tres alturas se cruzan en un punto llamado Ortocentro. 

• Recta de Euler

El baricentro de un triángulo está alineado con el ortocentro y el circuncentro, y a doble distancia del primero que del segundo. La recta que contiene a estos tres puntos se llama Recta de Euler.

• Bisectrices e Incentro

Se llama bisectriz a la recta que divide un ángulo en dos partes iguales. El punto I donde se cortan las tres bisectrices interiores se llama Incentro, centro de los tres lados y por eso podemos construir una circunferencia, es la circuferencia más "grande" que podemos hacer dentro del triángulo.



1.3. El teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. 

Si en un triángulo rectángulo hay catetos de longitud ${\displaystyle a\,}$ y ${\displaystyle b\,}$, y la medida de la hipotenusa es ${\displaystyle c\,}$, entonces se cumple la siguiente relación:    

                

                                                   

1.3.1. Demostración gráfica

           

 

    

 1.3.2. El teorema en 3D

Este teorema es poco conocido, ya que no se frecuenta su uso. Trata sobre como sacar el valor de la diagonal de un cubo.
                                                
                                                                           

 1.4. El teorema de Tales: ¿Cómo calcular la altura de un árbol a partir de su  sombra?

  1. Primero medimos la sombra del árbol

  2. Luego medimos nuestra altura, y la longitud de nuestra sombra.

  3. Realizamos los cálculos: 1.60 / 1.10 x 1.90 = 2.76 m

  

      

$$

FUNCIONES

              

       FUNCIONES: CONCEPTOS BÁSICOS(1ª PARTE)

  

1. ¿Cómo puedes expresar la relación entre dos magnitudes como, por ejemplo, la masa y el volumen de un cuerpo?
      a) Una fórmula: d = m7v
      b) Una gráfica y= 0.5 x

     c) Una tabla
                 X     Y
                -2     -1
                -1    -0.5
                 0      0
                 1      0.5
                 2      1

    d) Con lenguaje natural. Ej: "la altura del árbol aumenta 5 cm por año"

 2. ¿Qué es una función? Pon ejemplos de funciones de la vida cotidiana; puedes buscar en revistas, periódicos, etc
   
       Una función es una relación entre un conjunto dado X y otro conjunto de elementos Y de forma que a cada elemento x le corresponde un único elemento f.

EJEMPLOS:
         

3. ¿Qué es la tasa de variación de una función? ¿Qué valores toma para las funciones crecientes y decrecientes? Puedes utilizar ejemplos gráficos para responder.
 Se llama tasa de variación de la función en el intervalo, a la diferencia entre las ordenadas.
 Las funciones crecientes toman valores positivos, mientras el de las decrecientes será negativo.

                                   
 4. Utilizando la representación gráfica de una o varias funciones, explica las diferencias entre máximos y mínimos absolutos y relativos..        
                                      
                                       
                                             
 5. Representa gráficamente dos ejemplos de funciones simétricas respecto al eje de ordenadas (eje y) y respecto al origen (0,0). Explica en qué consiste cada tipo de simetría. 
                                 
                       
                                              
 6. Representa gráficamente una función periódica indicando por qué se denomina de esa forma.
           
                 

 7. Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua. ¿Cuál es la diferencia    entre ambas?
    
               
 8. Investiga: ¿Cuál es el origen del término función?
  La palabra función viene del latín functio, ‘Ejecución, ejercicio de alguna facultad,   cumplimiento de un deber’, y además del verbo fungi, ‘cumplir, desempeñar una función,      satisfacer, emplear,...’

9.Representa gráficamente las funciones que se proponen indicando sus propiedades. Elabora una tabla resumen con todas las gráficas obtenidas.
  a) Función lineal creciente
             
b) Función lineal constante
             
c) Función lineal decreciente
                
d) Rectas paralelas
            
e) Función cuadrática cóncava
             
f) Función cuadrática convexa